Lineer ve homojen birinci mertebeden diferansiyel denklemler. Örnek çözümler

Sanırım diferansiyel denklemler gibi görkemli bir matematiksel aracın geçmişi ile başlamalıyız. Tüm diferansiyel ve integral hesaplamaları gibi, bu denklemler 17. yüzyılın sonunda Newton tarafından icat edildi. Bu çok keşfi o kadar önemli saydı ki, bugünkü şu şekilde çevrilebilecek olan mesajı şifreledi: "Doğanın bütün yasaları diferansiyel denklemler tarafından tanımlandı." Bir abartma gibi gözükebilir, ama doğru. Herhangi bir fizik, kimya, biyoloji kanunu bu denklemlerle açıklanabilir.

Diferensiyel denklemler teorisinin geliştirilmesi ve oluşturulmasına büyük katkı matematikçiler Euler ve Lagrange tarafından yapılmıştır. Zaten 18. yüzyılda, şu anda üst düzey üniversite derslerinde okudukları şeyleri keşfedip geliştirdiler.

Diferansiyel denklemler çalışmasında yeni bir kilometre taşı Henri Poincare ile başladı. Kompleks bir değişkenin işlev teorisi ile birlikte topolojinin temelini oluşturan - uzay bilimi ve özellikleri - için önemli bir katkı sağlayan "kalitatif bir diferansiyel denklem teorisi" yarattı.

Diferansiyel denklemler nedir?

Birçok kişi "diferansiyel denklem" ibaresinden korkuyor . Bununla birlikte, bu makalede, bu çok yararlı matematiksel aygıtın özünü ayrıntılarıyla anlatacağız, aslında başlıktan göründüğü kadar karmaşık değildir. Birinci mertebeden diferansiyel denklemleri anlatmaya başlamak için öncelikle bu tanımla ilişkili olan temel kavramları öğrenmelisiniz. Ve diferansiyel ile başlayacağız.

diferansiyel

Birçok kişi bu kavramı okuldan bilir. Bununla birlikte, daha ayrıntılı olarak üzerinde duracağız. Bir fonksiyon grafiği düşünün. Bunu, bölümlerinden herhangi birinin düz bir çizgi şeklinde alacağı derecede arttıracağız. Üzerinde birbirine sonsuz yakın iki puan alıyoruz. Koordinatlarındaki (x veya y) fark çok küçüktür. Buna diferansiyel denir ve dy (y'nin diferensiyazı) ve dx'nin (x'in diferansı) işaretleri ile gösterilir. Diferansiyelin sınırlı bir miktar olmadığını ve bunun anlamı ve temel işlevi olduğunu anlamak çok önemlidir.

Ve şimdi bir diferansiyel denklemin kavramını açıklamada ihtiyaç duyduğumuz şu unsuru düşünmeliyiz. Bu bir türev.

Türev

Hepimiz muhtemelen okulda ve bu kavramı duymuştuk. Türevin, işlevin büyüme veya azalma oranı olduğu söylenir. Bununla birlikte, bu tanımın büyük kısmı anlaşılmaz hale gelir. Türevin diferansiyelleri boyunca açıklamaya çalışalım. Birbirimize en az mesafede olan iki nokta ile sonsuz küçük bir işleve dönelim. Fakat bu mesafe için bile işlevin bir dereceye kadar değişme zamanı vardır. Ve bu değişikliği tanımlamak ve aksi halde diferansiyellerin oranı olarak yazılabilecek bir türev oluşturmak için: f (x) '= df / dx.

Şimdi türevin temel özelliklerini göz önüne almalıyız. Sadece onlardan üçü var:

1. Toplamın veya farkın türevi türevlerin toplamı veya farkı olarak gösterilebilir: (a + b) '= a' + b 've (ab') = a'-b '.
2. İkinci mülkiyet çarpma ile ilgilidir. Ürün türevi, diğer türev üzerindeki bir fonksiyonun çarpımıdır: (a * b) '= a' * b + a * b '.
3. Farkın türevi aşağıdaki eşitlik biçiminde yazılabilir: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ² .

Bütün bu özellikler birinci mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümünde yararlıdır.

Ayrıca kısmi türevler de vardır. X ve y değişkenlerine bağlı bir z fonksiyonuna sahip olduğumuzu varsayalım. Bu fonksiyonun kısmi türevini hesaplamak için, örneğin x'e göre, y değişkenini bir sabit olarak alıp basitçe ayırt etmeliyiz.

integral

Bir başka önemli kavram da integral. Aslında, türevin tam tersi budur. İntegraller birkaç çeşittir, ancak en basit diferansiyel denklemleri çözmek için en önemsiz belirsiz integrallere ihtiyacımız var .

Peki, ayrılmaz bir şey nedir? X'in üzerinde f'ye belirli bir bağımlılığımız olduğunu varsayalım. Bundan ondaki integrali alıp, türevi orijinal fonksiyona eşit olan F (x) fonksiyonunu (çoğunlukla antiderivatif olarak da bilinir) elde ederiz. Böylece, F (x) '= f (x). Türevin integralinin orijinal fonksiyona eşit olduğu da izah edilir.

Diferansiyel denklemleri çözerken, integralin anlamını ve fonksiyonunu anlamak çok önemlidir çünkü bir çözümü bulmak için onları almak çok sıklıkla gereklidir.

Denklemler doğalarına bağlı olarak farklıdır. Bir sonraki bölümde, birinci mertebeden diferansiyel denklem türlerini inceleyeceğiz ve bunları nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz.

Diferensiyel Denklem Sınıfları

"Dağıtıcılar", onlara katılan türevlerin sırasına göre bölünür. Dolayısıyla birinci, ikinci, üçüncü veya daha fazla düzen vardır. Ayrıca birkaç sınıfa ayrılabilirler: sıradan ve kısmi türevler.

Bu yazıda, birinci mertebeden adi diferansiyel denklemleri ele alacağız. Bunları çözmek için örnekler ve yöntemler de aşağıdaki bölümlerde ele alınacaktır. Sadece ODE'yi düşünürüz, çünkü bunlar en yaygın denklem tipidir. Sıradan, alttürlere ayrılmıştır: ayırıcı değişkenlerle, homojen ve heterojen. Sonra, birbirlerinden nasıl farklı olduklarını öğreneceksiniz ve bunları nasıl çözeceğinizi öğreneceksiniz.

Buna ek olarak, bu denklemler, birinci mertebeden diferansiyel denklem sistemine sahip olduktan sonra birleştirilebilir. Bu tür sistemleri de göz önüne alarak bunları nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz.

Neden sadece birinci sınıfı düşünüyoruz? Çünkü basit bir soru ile başlamanız gerekir ve tek bir makalede diferansiyel denklemlerle ilgili her şeyi tanımlamak imkansızdır.

Ayrılabilir değişkenli denklemler

Bunlar, belki de en basit birinci mertebeden diferansiyel denklemlerdir. Bunlara şunlar yazılabilir örnekler dahildir: y '= f (x) * f (y). Bu denklemi çözmek için türevin diferansiyellerin oranı olarak gösterilmesi için formüle ihtiyacımız var: y '= dy / dx. Bunun yardımı ile aşağıdaki denklemi elde ederiz: dy / dx = f (x) * f (y). Şimdi, standart örnekleri çözme yöntemine geçebiliriz: değişkenleri bölümlere böleriz, yani değişkenin y değişkeninden, dy'nin bulunduğu bölgeye her şeyi aktarırız ve bunu da x değişkeniyle yaparız. Dy / f (y) = f (x) dx şeklindeki bir denklemi elde ederiz, bu da her iki taraftan da integral almak suretiyle çözülür. İntegrali aldıktan sonra ayarlanması gereken sabiti unutmayın.

Herhangi bir "difüzör" çözümü, x'in y'ye (bizim durumumuzda) bağımlılığının bir fonksiyonudur veya sayısal bir durum varsa, cevap bir sayı biçimindedir. Somut bir örnek üzerinde çözümün tüm gidişatını analiz edelim:

Y '= 2y * sin (x)

Değişkenleri farklı yönlerde aktarıyoruz:

Dy / y = 2 * sin (x) dx

Şimdi integralleri alıyoruz. Hepsi hepsi özel bir integral tablosunda bulunabilir. Ve biz alıyoruz:

Ln (y) = -2 * cos (x) + C

Gerekirse "igruk" u "X" in bir fonksiyonu olarak ifade edebiliriz. Şimdi, durum belirtilmediği takdirde diferansiyel denklemin çözüldüğünü söyleyebiliriz. Bir koşul verilebilir, örneğin, y (n / 2) = e. Sonra çözümdeki bu değişkenlerin değerini değiştirip sabitin değerini buluyoruz. Örneğimizde, 1'dir.

Homojen birinci mertebeden diferansiyel denklemler

Şimdi daha karmaşık parçaya gidin. Homojen birinci mertebeden diferansiyel denklemler genel formda şu şekilde yazılabilir: y '= z (x, y). İki değişkenin doğru işlevinin homojen olduğunu ve iki bağımlılığa bölünemeyeceğini belirtmek gerekir: z, x ve z'den y. Denklemin homojen olup olmadığını kontrol etmek oldukça kolaydır: x = k * x ve y = k * y ikame yapalım. Şimdi hepsini kesiyoruz. Tüm bu harfler azalırsa, denklem homojen olur ve güvenli bir şekilde çözümüne geçebilirsiniz. Devam edin, diyelim: Bu örnekleri çözme ilkesi de çok basit.

Bir ikame yapmamız gerekir: y = t (x) * x, burada t x'e de bağımlı bir işlevdir. Sonra türevini ifade edebiliriz: y '= t' (x) * x + t. Bütün bunları orijinal denklemimize koyup basitleştirerek, t ve x ayıran değişkenlerle bir örnek elde ettik. Çözdük ve bağımlılığı elde edeceğiz t (x). Onu elde ettiğimizde, daha önceki ikamemizde y = t (x) * x yerine geçin. Sonra y'nin x üzerindeki bağımlılığını alıyoruz.

Daha net hale getirmek için bir örnek verelim: x * y '= yx * e ^{y / x} .

Değiştirme ile yapılan kontrollerde hepsi azaltılır. Dolayısıyla, denklem gerçekten homojen. Şimdi biz de konuştuğumuz başka bir ikame yapalım: y = t (x) * x ve y '= t' (x) * x + t (x). Sadeleştirmeden sonra aşağıdaki denklemi elde ederiz: t '(x) * x = -e ^t . Elde edilen örneği ayrılmış değişkenlerle ^çözdük ve get: e ^-t = ln (C * x). T'yi y / x ile değiştiren yalnızca kalırız (çünkü y = t * x ise, t = y / x ise) ve cevabı elde ederiz: e ^{-y / x} = ln (x * C).

Doğrusal birinci mertebeden diferansiyel denklemler

Başka bir geniş konu düşünmenin zamanı geldi. Birinci mertebeden homojen olmayan diferansiyel denklemleri inceleyeceğiz. Önceki ikisinden farkı nedir? Anlamaya çalışalım. Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemler genel formda aşağıdaki denklemle yazılabilir: y '+ g (x) * y = z (x). Z (x) ve g (x) 'in sabit miktarlar olabileceğini açıklığa kavuşturmaya değer.

Ve şimdi bir örnek: y '- y * x = x ² .

Çözmenin iki yolu vardır ve biz de sırayla ilgileneceğiz. İlki, keyfi sabitlerin varyasyon metodudur.

Denklemi bu şekilde çözmek için, önce sağ tarafın sıfıra denk getirilmesi ve elde edilen denklemin çözülmesi gerekir; bunlar, parçaların aktarılmasından sonra şu şekildedir:

Y '= y * x;

Dy / dx = y * x;

Dy / y = xdx;

Ln | y | = x 2/2 + C;

Y = e ^{x2 / 2} * ^C = C ₁ * e ^{x2 / 2'de} .

Şimdi sabit C _1'i , bulmak zorunda olduğumuz v (x) fonksiyonuyla değiştirmeliyiz.

Y = v * e ^{x2 / 2} .

Türevin yerini alıyoruz:

Y '= v' * e ^{x2 / 2-} x * v * e ^{x2 / 2} .

Ve bu ifadeleri orijinal denklemde değiştirin:

V '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ² .

Sol tarafta iki terim iptal edildiği görülebilir. Bir örnekte bu olmadıysa, o zaman yanlış bir şey yaptınız. Devam edelim:

V '* e ^{x2 / 2} = x2.

Şimdi, değişkenleri ayırmamız gereken genel denklemi çözüyoruz:

Dv / dx = ^{x2 / e2 / 2} ;

Dv = x2 * e ^{- x2 / 2} dx.

İntegralin çıkarılması için bütünleştirmeyi parçalara uygulamak zorundayız. Ancak, bu makalemizin konusu değildir. Eğer ilgileniyorsanız, bunu kendiniz nasıl yapacağınızı öğrenebilirsiniz. Zor değildir ve yeterli beceri ve dikkat ile çok fazla zaman almaz.

Homojen olmayan denklemleri çözmek için ikinci metoda geçelim: Bernoulli yöntemi. Hangi yaklaşım daha hızlı ve kolaydır - bu size bağlıdır.

Böylece, denklemi bu yöntemle çözerken, bir ikame yapmamız gerekir: y = k * n. Burada k ve n, x'e bağlı bazı fonksiyonlardır. Sonra türev şöyle görünecek: y '= k' * n + k * n '. Her iki ikamesini de denklemin içine koyduk:

K '* n + k * n' + x * k * n = x ² .

Grup up:

K '* n + k * (n' + x * n) = x ² .

Şimdi köşeli parantez içinde olanı sıfıra eşitlememiz gerekiyor. Şimdi, elde edilen iki denklemi birleştirirsek, çözülecek bir birinci mertebeden diferansiyel denklem sistemini elde ederiz:

N '+ x * n = 0;

K '* n = x ² .

İlk denklem sıradan bir denklem olarak çözülür. Bunu yapmak için, değişkenleri ayırmanız gerekir:

Dn / dx = x * v;

Dn / n = xdx.

İntegrali alıp elde ediyoruz: ln (n) = x 2/2. Sonra n'yi ifade edersek:

N = e ^{x2 / 2} .

Şimdi ortaya çıkan eşitliğin yerine sistemin ikinci denklemini giriyoruz:

K '* e ^{x2 / 2} = x2.

Ve dönüşürken, birinci yöntemdeki eşitliği elde ederiz:

Dk = ^{x2 / e2 / 2} .

Ayrıca başka eylemler de demonte etmeyeceğiz. İlk olarak, birinci mertebeden diferansiyel denklemlerin çözülmesinin önemli zorluklara neden olduğunu söylemelisiniz. Ancak, konu daha derin daldırma ile, daha iyi ve daha iyi olmaya başlar.

Diferansiyel denklemler nerede kullanılır?

Fizikte çok aktif diferansiyel denklemler kullanılmaktadır, çünkü hemen hemen tüm temel yasalar diferansiyel formda yazılmaktadır ve gördüğümüz formüller bu denklemlerin çözümüdür. Kimyada, aynı nedenle kullanılırlar: temel yasalar kendi yardımlarıyla türetilir. Biyolojide diferansiyel denklemler, örneğin avcı avı gibi sistemlerin davranış modellemesinde kullanılır. Ayrıca üreme modelleri, örneğin bir mikroorganizma kolonisi oluşturmak için kullanılabilirler.

Diferansiyel denklemler hayatta nasıl yardımcı olur?

Bu sorunun cevabı basit: hiçbir şekilde. Eğer bir bilim adamı ya da mühendis değilseniz, sizin için yararlı olmaları pek olası değildir. Bununla birlikte, genel bir gelişme için, diferansiyel denklemin ne olduğunu ve nasıl çözüleceğini bilmek mantıksız değildir. Ve o zaman oğlu veya kızı "diferansiyel denklem nedir?" Seni kutu kasabasına koyma. Eh, bir bilim adamı veya mühendisseniz, bu konunun herhangi bir bilimdeki önemini anarsınız demektir. Ancak önemli olan şu ki "birinci mertebeden diferansiyel denklemi nasıl çözeceksin?" Her zaman bir cevap verebilirsiniz. Katılıyorum, insanların anlamaktan korktuğunu anladığınızda, her zaman hoş olur.

Araştırmanın ana problemleri

Bu konuyu anlama konusundaki ana problem, işlevleri bütünleştirmenin ve farklılaştırmanın yetersiz becerisidir. Türev ve bütünleştirmeleri kötü bir şekilde yerine getirmiyorsanız, muhtemelen öğrenmek, entegrasyon ve farklılaştırma yöntemlerini öğrenmek ve yalnızca makalede açıklanan materyali incelemeye başlamak değerlidir.

Bazı insanlar, dx'in transfer edilebileceğini öğrendiklerinde şaşırırlar, çünkü daha önce (okulda) dy / dx kesirinin bölünmez olduğunu iddia ettiler. Burada türev literatürünü okumak ve bunun denklemleri çözmek için manipule edilebilen sonsuz küçük miktarların bir oran olduğunu anlamak gerekir.

Birçok kişi birinci mertebeden diferansiyel denklemlerin çoğunlukla bir fonksiyon veya tamsayı olmayan bir integral olduğunun farkına varmazlar ve bu yanılsama onlara büyük sıkıntı verir.

Daha iyi anlamak için başka neler okuyabilirsiniz?

Özel ders kitaplarından, örneğin matematik dışı spesiyallere ait öğrenciler için matematiksel analizlerden diferansiyel calculus dünyasına daha fazla daldırmaya başlamak en iyisidir. Sonra daha özel literatüre gidebilirsiniz.

Diferansiyel denklemlerin yanı sıra integral denklemlerinin de bulunduğunu, böylece daima çalışmanız gereken bir şey ve ne çalışması gerektiğini belirtmek gerekir.

Sonuç

Bu makaleyi okuduktan sonra diferansiyel denklemlerin ne oldukları ve bunları doğru bir şekilde nasıl çözeceğiniz hakkında bir fikriniz olduğunu umarız.

Her durumda, matematik hayatımızda bize herhangi bir şekilde faydalıdır. Mantığı ve dikkati geliştirir, bu olmadan olmadan her insan elleri gibidir.