Doğrusal denklem bir sistem. doğrusal denklem sistemlerinin Homojen sistemi

Okulda, her birimiz, kesinlikle denklem sistemini denklemini okudu ve. Ama birçok kişi bunları çözmek için çeşitli yolları olduğunu biliyoruz. Bugün ikiden fazla denklem oluşur lineer cebirsel denklemlerin, bir sistem çözümü için tam olarak tüm yöntemleri göreceksiniz.

öykü

Bugün denklemler ve onların sistemlerini çözme sanatı antik Babil ve Mısır'da kökenli olduğunu biliyoruz. Ancak, onların tanıdık formda eşitlik İngiliz matematikçi kayıtlarının 1556 yılında tanıtıldı eşittir işareti "=", ortaya çıktıktan sonra bize göründü. Bu arada, bu sembol bir nedeni seçildi: Bu iki paralel eşit segmentleri anlamına gelir. Gerçekten de, eşitlik en iyi örnek yukarı gelmiyor.

Modern yazı kurucusu ve bilinmeyen ölçüde sembolleri, Fransız matematikçi Fransua Viet. Ancak, tanımlama bugünden önemli farklar var. Örneğin, bilinmeyen bir sayının kare o Q harfi (. lat "kuadratus"), Ve küp tarafından belirlenmiş - (. lat "Cubus") C harfi. Bu semboller artık rahatsız görünüyor, ama o zaman doğrusal denklem sistemlerinin bir sistem yazmak için en kolay yoluydu.

Bununla birlikte, çözelti geçerli olan yöntemler içinde bir dezavantaj matematikçiler pozitif kökleri sadece kabul var idi. Belki de bu negatif değerler herhangi pratik bir uygulama yok olmasından kaynaklanmaktadır. Öyle ya da böyle, ancak ilk negatif kökleri 16. yüzyılda İtalyan matematik Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ve Raphael Bombelli sonra başladı dikkate alınması gerekir. Modern bir bakış, çözme ana yöntem kuadratik denklemler (diskriminant aracılığıyla) Descartes ve Newton eserleri üzerinden sadece 17. yüzyılda kuruldu.

18. yüzyıl İsviçre matematikçi ortasında Gabriel Cramer daha kolay lineer denklem sistemlerinin çözümünü yapmak için yeni bir yol buldu. Bu yöntem daha sonra ondan sonra seçildi ve bu güne kadar bunu kullanıyoruz. Ama biraz sonra Kramer'in konuşma yöntemine, ancak şimdilik sistemden ayrı olarak doğrusal denklemleri ve çözümlerini tartışacağız.

lineer denklemler

Doğrusal denklemler - değişken (ler) ile en basit denklem. Onlar cebirsel aittir. Doğrusal denklemler ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... ve _n * x _n = b: aşağıdaki gibi genel formda yazılı. Bu formun Sunulması biz sistemlerin hazırlanmasında ihtiyaç ve üzerinde matrisler edecektir.

Doğrusal denklem bir sistem

Bu terimin tanımı şöyledir: Ortak bilinmeyenler ve genel çözüm denklem kümesi. Tipik olarak, okulda her iki hatta üç denklemlerle bir sistem çözüldü. Ama dört veya daha fazla bileşenleri ile sistemler vardır. en böylece daha sonra çözmek için uygun oldu onları yazmak nasıl ilk görelim. böylece 1,2,3 ve: bütün değişkenler, ilgili endeks x olarak yazılır eğer Öncelikle, doğrusal denklem sistemlerinin sistem daha iyi bakacağız. İkinci olarak, kurallı forma tüm denklemler gitmelidir: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... ve _n * x _n = b.

Tüm bu adımlardan sonra, nasıl lineer denklem sistemlerinin çözüm bulmak için söylemek başlayabilir. Bunun için Çok kullanışlı matris içinde gelecek.

matris

Matris - satır ve sütun oluşan bir tablo ve unsurları ve kesişme noktalarında bulunmaktadır. Bu, belirli bir değer veya değişken olabilir. Çoğu durumda, alt simgeler (örneğin, bir ₁₁ ya da ₂₃ de) altına yerleştirilmiş olan elemanları belirtmek için. sütun - ilk dizin satır numarasını ve ikinci gösterir. Yukarıdaki ve diğer matematiksel unsur olarak Üstü matrisler çeşitli işlemleri gerçekleştirebilirsiniz. Böylece, şunları yapabilirsiniz:

1) çıkarma ve tablo aynı boyutta ekleyin.

2) herhangi bir sayıda ya da vektöre matrisi çarpın.

3) Transpoze: sütunlarda matris türlerini dönüştürmek, ve sütunlar - doğrultusunda.

satır sayısını bunlardan biri sütun farklı sayıda eşit ise 4), matris çarpın.

Gelecekte bize faydalıdır olarak, ayrıntılı olarak bu tekniklerin hepsi tartışmak. Çıkarma ve matris eklenmesi çok basittir. aynı boyut matrisi almak için, bir tablonun her elemanın her eleman ile ilgilidir. Böylece (çıkarma) Bu unsurların iki (onlar kendi matrisleri aynı zeminde duruyorduk önemlidir) ekleyin. matris veya vektör sayısı ile çarpıldığında sadece bu sayı (ya da vektör), matrisin her bir elemanı çarpın. Transpozisyonu - çok ilginç bir süreç. Tablet veya telefonda yönünü değiştirirken, örneğin, gerçek hayatta onu görmek için bazen çok ilginç. masaüstü simgeleri bir matris ve pozisyon değişikliği ile, aktarılmış ve daha geniş hale gelir, ancak yükseklik azalır.

Bizim gibi daha bir işlem inceleyelim matris çarpımı. Her ne kadar o anlattı ve yararlı değildir, ama yine de yararlıdır unutmayın. Çarpın iki matris bir tablodaki sütun sayısı diğer sıraların sayısına eşit olduğu tek koşul altında olabilmektedir. Şimdi, bir matris hattı elemanları ve karşılık gelen sütun diğer öğeleri alır. her biri daha sonra, diğer ve toplam bunları çarpın (a *, b ₁₁ + ₁₂ * _12b ve _22, yani, örneğin, elemanlar ₁₁ ve ₁₂ ve ₁₂ b ve ₂₂ b bir ürünü eşit _olacaktır). Bu nedenle, tek bir tablo maddesi ve buna benzer bir yöntem olup, ayrıca doldurulur.

Şimdi lineer denklem sistemlerini çözmek için nasıl düşünmeye başlayabilir.

gaus

Bu tema okulda yer almaya başladı. Biz çok iyi "iki doğrusal denklem sisteminin" kavramını bilir ve bunları çözmek için nasıl biliyorum. Ama denklemlerin sayısı ikiden büyük ise? Bu bize yardım edecek Gauss yöntemi.

Tabii ki, bu yöntem, sistemin bir matris yaparsanız, kullanımı uygundur. Ama bunu dönüştürmek ve kendi başına karar veremez.

Peki, nasıl lineer denklemler Gauss bir sistem tarafından çözmeye? Bu arada, hatta bu yöntemle olsa ve onun adını ancak eski çağlarda keşfettim. Gauss sonunda kademe forma bütününde sonuçlanması, denklemlerle yürütülen bir operasyon var. Yani bilinmeyen bir azaldı son denkleme birinciden yukarıdan aşağıya (doğru yerleştirirseniz) gerek vardır. İkinci üç bilinmeyenler, - - Üçüncü ikisini - Bir tane birinci: Başka bir deyişle, biz, üç denklemler, elimizdeki böylece yapmak gerekir derler. Daha sonra, son denklemden, ilk bilinmeyen bulmak ikinci veya birinci denklemde değeri yerine ve bundan başka geri kalan iki değişken bulabilirsiniz.

Cramer kuralı

bu tekniğin geliştirilmesi için, matrislerin çıkarma yanı sıra belirleyicilerini bulmak mümkün ihtiyacını ilavenin becerileri için çok önemlidir. Bunu tüm yaparken rahatsız ya da ne kadar bilmiyorsanız nedenle, öğrenme ve eğitim gereklidir.

Bu yöntemin özü nedir ve bunu nasıl, lineer denklemler Cramer sistemi alınır? Çok basit. Biz (neredeyse her zaman) doğrusal denklem sistemlerinin bir sistemin katsayıları numaralarının bir matris oluşturmak gerekir. Bunu yapmak için, sadece bilinmeyen sayısını alıyoruz ve sistemdeki kayıtlı sırayla bir tablo düzenlemek. numara işarettir önce ise "-", o zaman negatif katsayısını yazın. Yani, biz (- katsayılarla tüm bilinmeyenler doğru sadece bir sayıdır ve sol olduğunda denklem kanonik forma azaltılmış olması gerektiğini, elbette) eşit işaretinden sonra numarası dahil değil, bilinmeyenlerin ilk katsayılar matrisi yaptı. Sonra birkaç matrisleri yapmak gerekir - her değişken için bir tane. Bu amaçla, ilk olarak matris içinde eşit işaretinden sonra bir sütun ile katsayılı her sütun sayıları değiştirilir. Böylece biz birkaç matrisleri aşıp kendi belirleyicilerini bulabilirsiniz.

Biz elemeleri bulduktan sonra, o küçük. Biz ilk matris sahip ve farklı değişkenlere uygun birçok türetilmiş matrisler bulunmaktadır. Bir sistem çözümü elde etmek için, tablonun birincil belirleyici üzerine çıkan tablonun belirleyici bölün. Elde edilen numaralı değişken değeridir. Benzer şekilde, tüm bilinmeyenler bulabilirsiniz.

diğer yöntemler

lineer denklem sistemlerinin çözümünü elde etmek için çeşitli yöntemler vardır. Örneğin, aynı zamanda ikinci dereceden denklem sisteminin çözüm bulmak için kullanılabilir, ve bir sözde Gauss-Jordan yöntem olup, matrislerin kullanımı ile ilgilidir. Lineer cebirsel denklemlerin bir sistem çözümü için bir Jacobi yöntemi de vardır. O kolayca tüm bilgisayarlara uyum sağlar ve bilgisayar kullanılmaktadır.

komplike vakalar

denklemlerin sayısı değişkenlerinin sayısından daha az ise Karmaşıklık genellikle oluşur. Sonra kesinlikle söyleyebiliriz, ya da sistem (yani kökleri bulunmuyor) tutarsız ya da kararların sayısı sonsuza eğilimindedir. ikinci kılıf varsa - lineer denklem sisteminin genel çözümünü yazmak için gereklidir. Bu en az bir değişken içerecektir.

Sonuç

Burada sona erer. Özetlemek gerekirse: Biz sistem matrisi, lineer denklem sisteminin genel çözüm bulmak için öğrendiklerini anlamak gerekir. Ayrıca diğer seçenekleri değerlendirmiştir. Gauss eliminasyon ve: Biz lineer denklem sistemlerini çözmek için nasıl düşündüm Cramer Kuralı. Biz zor durumlarda ve çözüm bulma diğer yolları hakkında konuştuk.

Aslında, bu konu çok daha geniş olur ve daha iyi anlamak istiyorsanız, size özel edebiyat daha okumanızı tavsiye ederiz.