Birinin fonksiyonları ve çeşitli değişkenlerin Diferansiyel hesap

Diferansiyel türevi, diferansiyel ve fonksiyonları çalışmaya kullanımını ele matematiksel analiz, bir dalıdır.

hikayesi

Diferansiyel hesap 17. yüzyılın ikinci yarısında bağımsız bir disiplin olarak ortaya, Diferensiyellerin hesaplanmasında temel hükümler formüle ve entegrasyon ve farklılaşma arasındaki bağlantıyı fark Newton ve Leibniz, çalışmalarına teşekkürler. disiplin beri dolayısıyla matematiksel analizinin temelini oluşturan, integrallerin hesaplanmasında birlikte geliştirdi. Bu taşların görünümünü matematiksel dünyasında yeni bir modern dönem açıldı ve bilimde yeni disiplinler ortaya çıkmasına neden oldu. Ayrıca doğal bilimler ve mühendislik matematiği kullanma olasılığını uzattı.

temel kavramlar

Diferansiyel matematik temel kavramları dayanmaktadır. Bunlar: bir reel sayı, süreklilik ve fonksiyon sınırı. Bir süre sonra, onlar, Matematik ve diferansiyel hesaplamalarında sayesinde modern bir görünüm almış.

oluşturma işlemi

Bir uygulama şeklinde, ve daha sonra, bilimsel yöntemde diferansiyel hesap oluşumu Nikolay Kuzansky tarafından oluşturulan felsefi teori, ortaya çıkmadan önce meydana geldi. Çalışmaları kararın antik bilimden evrimsel bir gelişme olarak kabul edilir. filozof kendisi matematikçi değildi gerçeğine rağmen, matematiksel bilimin gelişmesine yaptığı katkı yadsınamaz. Cusa, en doğru bilim olarak aritmetik dikkate giren ilk çıkar biri matematik soru işaretleri zamanı koyarak.

Yeni bir tedbir olarak sonsuz önerilen filozof kesin bir sayı döndürür iken antik matematikçiler ise evrensel kriter, bir birim oldu. Matematiksel biliminde doğruluk bu ters gösterimi ile bağlantılı olarak. Bilimsel bilgi, ona göre, rasyonel ve akıllı ayrılmıştır. Eski sadece yaklaşık sonuçlar verdiği için, ikinci, bilim göre, daha doğru olacaktır.

Fikir

Temel fikir ve belli noktalarda küçük bir mahallede fonksiyonu ile ilişkili diferansiyel hesap kavramı. Bunun için, davranış, doğrusal fonksiyonu veya bir polinomun davranışı yakın monte noktalardan bir küçük mahalle çalışmaları işlev için matematiksel bir cihaz oluşturmak için gereklidir. Türev ve diferansiyel bu tanım dayanmaktadır.

ortaya çıkması türevinin kavramı aynı tip sınır değerleri tespitine yol açmıştır, doğal bilimler ve matematik problemleri, çok sayıda neden oldu.

eski okul sınıfları ile başlanarak, bir örnek olarak verilmiştir temel görevlerinden biri, düz bir hat ve bu eğrinin teğet hattının yapımında bir noktanın hareket hızı belirlemektir. diferansiyel bir lineer fonksiyonun noktasının küçük mahalle fonksiyonunu tahmin etmek mümkündür, çünkü bu bağlantılı.

gerçek bir değişkenin bir fonksiyonu türevi kavramı ile karşılaştırıldığında, diferansiyel tanımı, sadece, özellikle de genel nitelikteki işlevini başka bir Öklid uzay resmi geçer.

türev

y-ekseni doğrultusunda nokta hareket olsun, bir süre için bir an başlangıcından itibaren ölçülür x, alır. Bu tür bir hareket tanımlar yer değiştirebilir koordinat noktası her zaman noktası x ile ilişkili olan fonksiyon y = f (x), ile mümkündür. mekaniği Bu işlev çağrısı hareket yasasını almak. Düzgün olmayan hareket, ana özelliğidir anlık hız. nokta mekanik kanununa göre y ekseni boyunca hareket ettirildiğinde, rasgele zaman noktası x f (x) koordinat elde eder. AH zaman artış gösteren zaman noktası, x + SH, olarak, f (x + AH) kordinaty olacaktır. Bu şekilde oluşturulan formül Δy = f (x + AH) - bir artış fonksiyonu olarak adlandırılır f (x),. Bu, x + AH x zaman boyunca geçtiği yolunun bir nokta.

Zaman türevi hızın meydana bağlantılı olarak uygulanır. sabit bir noktaya herhangi bir fonksiyonun türevi (olduğu varsayılarak) sınırı olarak adlandırılan. Belirli karakterlerin sevk edilebilir:

f (x), y ', y, df / dx, dy / dx, Df (x) tanımlanmaktadır.

Çağrı farklılaşma türevinin hesaplanması proses.

Çok değişkenli fonksiyonların Diferansiyel

fonksiyon çalışma, birçok değişken hesaplanırken bu yöntem uygulanır. iki değişken x ve y, nokta A x göre kısmi türevi olduğunda, sabit bir y, x, bu fonksiyonun türevi olarak adlandırılır.

Aşağıdaki sembolleriyle gösterilir edilebilir:

f (x) (x, y) 'u' (x) ∂u / ∂X ve ∂f (x, y) '/ ∂X.

Gerekli becerileri

Başarıyla öğrenmek ve entegrasyon ve farklılaşmasında diffury gerekli becerileri çözebilecek için. daha kolay diferansiyel denklemler anlamak yapmak için, konu türevi ve anlaşılmak zorundadır belirsiz integrali. Ayrıca kapalı fonksiyonların türevi aramaya öğrenmek için zarar vermez. Bu öğrenme sürecinde sıklıkla integraller ve farklılaşmayı kullanacak olmasından kaynaklanmaktadır.

diferansiyel denklem çeşitleri

Hemen hemen ilişkili tüm kontrol çalışmaları birinci dereceden diferansiyel denklemler, homojen, ayrılabilir değişkenler, doğrusal homojen: denklem 3 tipi bulunmaktadır.

toplam diferansiyeller, Bernoulli denklemi ve diğerleri ile daha nadir türler denklemler de vardır.

Temelleri çözümler

Biz hatırlamalıyız Başlamak için bir okul ders cebirsel denklemidir. Onlar değişkenleri ve numaraları içerir. Belirtilen koşulu karşılayan sayılar bol bulmalısınız geleneksel denklemi çözmek için. Tipik olarak, bu denklemler bir kök var ve doğrulama için sadece bilinmeyen yerine bu değeri değiştirmesi gerekir.

diferansiyel denklem bu benzer. Genel olarak, birinci dereceden bir denkleme aşağıdakileri içerir:

• Bağımsız değişken.
• İlk fonksiyonunun bir türevidir.
• İşlev veya bağımlı değişken.

Bazı durumlarda, hiç kimse bilinmiyor, x veya y olabilir ancak çözeltisi ve diferansiyel hesap için bir yüksek sıralı türevleri ile, birinci türevi için gerekli olan gerçek gibi o kadar önemli değildir olabilir.

diferansiyel denklemi çözün - bu uygun Verilen ifade olan tüm fonksiyonların kümesini bulmak demektir. fonksiyonların oluşan bu takımlar genellikle genel çözümü kontrolü denir.

integral hesabı

İntegral hesap yekpare, özellikleri ve hesaplama yöntemleri çalışması kavramı matematiksel analiz, bölümlerinden biri.

bir eğrisel bir şekle sahip alanı hesaplanarak, çoğu zaman entegrali hesaplanması oluşur. Bu elinde kademeli bir artış, ve veri tarafı ile yazılı çokgen şeklinde, önceden belirlenmiş bir alanı, daha önce belirtilen keyfi bir değerden daha düşük yapılabileceği doğru bir sınır alanı sayede.

herhangi bir geometrik şeklin alanı hesaplanmasında ana fikri bir dikdörtgen alanı hesaplanarak, daha sonra kendi alanının genişliği ile uzunluğunun çarpımına eşittir kanıt yoktur. Bu geometri söz konusu olduğunda, o zaman tüm yapılar, bir cetvel ve pusula kullanılarak yapılır ve daha sonra uzunluğun genişliğe oranı mantıklı bir değerdir. Bir dik üçgenin alanını hesaplarken bir yanındaki üçgeni koyarsanız, bir dikdörtgen oluşturacak şekilde belirlenebilir. paralel kenarın alanında bir dikdörtgen ve bir üçgen içinde, benzer ancak biraz daha karmaşık bir yöntem olarak hesaplanır. Bir poligon alanında kendisine yer üçgenlerle kabul edilir.

rasgele bir acı belirlenmesinde, bu yöntem, bir eğri uygun değildir. bireysel kareler bölün, bu doldurulmamış yerleri kalacaktır. Bu durumda, bunların bir sonucu olarak fonksiyon grafiği içermektedir ve içermez, yukarıda ve aşağıda dikdörtgen olan, iki kat kullanmaya çalışır. Burada önemli olan bu dikdörtgenler kırmak için kullanılan bir yöntemdir. Biz daha azaltılmış mola Ayrıca, üst ve alt alanı belirli bir değerin üzerinde yakınsama gerekir.

Bu dikdörtgenler halinde ayrılması için bir yöntem dönmelidir. iki popüler yöntem vardır.

Riemann alt grafiği alanı olarak, Leibniz ve Newton tarafından oluşturulur, yekpare tanımını resmiyet. Bu durumda, aralık bölünmesi ile elde edilen dikey dikdörtgen belirli bir sayıda içeren bir rakam olarak. bir azalma kırma, bu tür bir şeklin düşük alan, bu sınır belirli bir aralıkta bir fonksiyonun Riemann integrali adlandırılır için bir sınır vardır.

İkinci bir yöntem ayrılması yerine integral bir parçası üzerinde bir bölgeden ve daha sonra bu parçalar elde edilen değerlerin entegre toplamı derleme aralıkları değerlerinin yelpazesini bölünmüş edilmiş ve daha sonra bu integraller ters resimler ilgili önlemler ile toplanır gerçeğine bağlı olarak, Lebesgue oluşturmaktır.

Modern yardımcıları

diferansiyel ve integral hesabı Fikhtengol'ts çalışma için başlıca yararlarından biri yazdı - "diferansiyel ve integral hesap." Onun ders kitabı diğer dillere birçok sürümleri ve çevirileri dayanmış matematiksel analiz çalışmasında, için temel bir araçtır. öğrenciler için ve çalışmanın temel faydalarından biri olarak eğitim kurumlarının çeşitli kullanılan uzun süre düzenlendi. Bu teorik bilgi ve pratik becerileri sağlar. İlk 1948 yılında yayınladı.

Algoritma araştırma işlevi

diferansiyel hesap fonksiyonunun yöntemlerini araştırmak için, zaten algoritma verilir takip etmek gerekir:

1. fonksiyonunun etki alanını bulun.
2. Verilen denklemin köklerini bulun.
3. aşırı hesaplayın. Bunu yapmak için, biz türevi ve sıfıra eşittir noktaları belirlenmiştir.
4. Bu denklem elde edilen değer yerine.

diferansiyel denklemlerin Çeşitler

Birinci sırada (bir değişken, aksi takdirde, diferansiyel hesap) ve bunların tipleri Kontrol:

• F (y) dy = g (x) dx: ayrılabilir değişkenler denklemi ile.
• aşağıdaki formüle sahip olan bir değişken basit eşitlik veya farklı taşı fonksiyonu, y '= f (x).
• Lineer birinci dereceden düzgün olmayan kontrol y '+ P (x), y = Q, (x) tanımlanmaktadır.
• Bernoulli diferansiyel denklem: y '+ P (x) , y = Q, (x) y.
• toplam farklılıkları Denklem: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

İkinci düzen ve onların türlerinin diferansiyel denklemler:

• Sabit ^katsayılı homojen doğrusal ikinci basamak diferansiyel ^{denklem: n + y py '+ QY} = 0, p, q R. ait
• sabit katsayılar ^değeri ile homojen olmayan doğrusal ikinci basamak diferansiyel ^{denklem: n + y py '+ QY} = f (x).
• Homojen lineer diferansiyel ^{denklem: n + p (x) y} y '+ q (X) y = 0, ve homojen olmayan ikinci dereceden ^{denklemi: y + n'nin, p (x)} y' + q (X) y = f (x) tanımlanmaktadır.

Daha yüksek emir ve bunların türleri Diferansiyel denklemler:

• ^için azaltılmasını sağlayan diferansiyel denklemler, ^{F (x, y (k} ) y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• ^{_{y (n) + d (:}} yüksek sıralı ^_homojen bir doğrusal denklem n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + ₁ y f + _0, y = 0, ve ^{_{homojen olmayan f (n), y + d (}} n ₁₎ y ^(n-1) + ... + ₁ y f + ₀ y = f f (x).

diferansiyel denklemi ile problem çözme Aşamaları

uzaktan kumandanın yardım matematik veya fizik problemleri, aynı zamanda biyoloji, ekonomi, sosyoloji ve diğerlerinin çeşitli sorunlar sadece çözülür bulunmaktadır. konuların çeşitli rağmen, bu sorunların çözümü için tek mantık dizisini takip etmeli:

1. kontrolünü Çizim. en ufak hata tamamen yanlış sonuçlara yol açacaktır, çünkü maksimum doğruluk gerektirir en zor aşamalardan biri. Hesaba sürecini etkileyen tüm faktörleri göz ve başlangıç şartları belirlemek gereklidir. Ayrıca gerçekler ve mantıklı sonuçlar dayanmalıdır.
2. denklemleri çözme için. o matematiksel hesaplamalar sadece sıkı uygulanmasını gerektirir çünkü bu süreç, ilk noktaya daha kolaydır.
3. Analiz ve sonuçların değerlendirilmesi. Türetilmiş çözüm sonucun pratik ve teorik değerin kurulumu için değerlendirilmelidir.

Diferansiyel kullanımının bir örneği tıpta denklemler

tıp alanında uzaktan kumandanın kullanılması epidemiyolojik matematiksel bir model oluşturulması bulunur. o önemli bir rol farklı biyolojik nüfuslar ve insan vücudunda kimyasal süreçlerin çalışma oynar, çünkü bu denklemler ayrıca tıpta yakın biyoloji ve kimya bulunur unutmamalıyız.

Bu örnekte, enfeksiyonun salgın yayılmış bir izole edilmiş eden muamele edilebilir. sakinleri üç tipe ayrılır:

• Enfekte enfeksiyöz her biri kişiler, enfeksiyöz taşıyıcı oluşuyordu x sayısı (t), (kuluçka süresi kısadır).
• İkinci tip duyarlı kişiler y (t), enfekte olmuş ile temas ile enfekte edilebilir içerir.
• Üçüncü tip immün veya hastalığa bağlı olarak yitirilen refrakter bireyler z (t), içerir.

bireylerin sayısı sürekli doğum tutarak doğal ölümler ve göç olarak kabul edilmez. Özünde iki hipotez olacaktır.

bir zaman noktasında yüzde hastalık x (t) y (t) (hasta ve duyarlı üyeleri arasında kesişme sayısı ile orantılı olarak vaka sayısı ilk yaklaşmada x orantılı olduğu teorisine göre varsayım (t), y (t)), 'de eşittir Bu nedenle vaka sayısı (a> 0) artan ve formül ax (t), y (t) ile hesaplanan bir oranda hassas sayısı azalır edilir.

öldü veya kazanılmış bağışıklık, vaka sayısı, bx (t), (b> 0) ile orantılı olan bir hızda artış olmayan yanıt hayvan sayısı.

Sonuç olarak, onun sonuçları temelinde her üç göstergelerle denklem sistemini kurabilirsiniz.

ÖRNEK kullanım ekonomisi

Diferansiyel hesap genellikle ekonomik analizinde kullanılır. Ekonomik analizde temel görevi işlevi şeklinde kaydedilmektedir ekonominin değerlerinin, çalışma olarak kabul edilir. Böyle oran yeni ekipman ile emekli çalışanlar tarafından değiştirilebileceğine hemen sonra gelir vergisi artışları değişiklikler, giriş ücretleri, gelirlerdeki değişiklikleri ürünün değerini değiştirerek olarak sorunların çözümünde kullanılmaktadır. bu sorunları çözmek için, sonraki diferansiyel taşı tarafından incelenmektedir, gelen değişken, bir haberleşme fonksiyonu oluşturmak için gereklidir.

böylece maksimum verimlilik, en yüksek geliri, asgari maliyet ve: ekonomik alanda en iyi performansı bulmak için çoğu zaman gereklidir. Bu tür her bir bileşen, bir veya daha fazla bağımsız değişken bir fonksiyonudur. Örneğin, üretim, emek ve sermaye bir fonksiyonu olarak düşünülebilir. Bu bağlamda, uygun bir değer bulma bir ya da daha fazla değişken bir fonksiyonun maksimum veya minimum bulma azaltılabilir.

Bu tür sorunlar Eğer diferansiyel hesap gereken ekonomik alanda extremal sorunları, bir sınıf oluşturmak. ekonomik gösterge en aza indirmek veya diğer parametrelerin bir fonksiyonu olarak en üst düzeye çıkarmak için gerekli olan zaman argüman artış sıfır eğilimi ise, bağımsız değişkenler için artış oranının maksimum noktası işlevini sıfıra düşer. böyle bir davranış belli bir pozitif veya negatif bir değer eğiliminde olduğunda bağımsız değişken arttırılması ya da azaltılması ile istenilen yönde bağlı bir değer değiştirilebilir, çünkü aksi halde, belirtilen bağlantısı, uygun değildir. diferansiyel hesap terminolojisinde, bu en fazla fonksiyon için gerekli şartlar da türevinin bir sıfır değeri olduğu anlamına gelir.

ekonomik göstergeler birçok faktörden oluşur çünkü ekonomi, çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremum bulma nadir sorun değildir. Bu tür sorunlar, iyi çok değişkenli, diferansiyel hesaplama yönteminin fonksiyonlar teorisi olarak anlaşılabilir. Bu tip sorunlar, sadece da sınırlamaları maksimize fonksiyonu minimize ancak içerir. Bu sorular matematiksel programlamaya ilgilidir ve bunlar özel olarak geliştirilen yöntemlerin yardımı da bu bilim dalına dayalı çözülür.

ekonomide kullanılan diferansiyel hesap yöntemleri arasında, önemli bir bölümü mükemmel bir testtir. Ekonomik alanda, terim değişken performans araştırma yöntemleri kümesi anlamına gelir ve onların sınır değerlerinin analizine dayalı, oluşturma, tüketim hacmini değiştirmek sonuçlanır. göstergesi olarak türevi veya çok değişkenli kısmi türevleri sınırlama.

Çok değişkenli Diferansiyel hesap - matematiksel analizin önemli bir konu. detaylı bir çalışma için, yüksek öğretim kurumları için öğretim yardımcıları çeşitli kullanabilirsiniz. En ünlü oluşturulan Fikhtengol'ts biri - "diferansiyel ve integral hesap." Nasıl pek isim oldukça önemli diferansiyel denklemlerin çözümü için integral ile çalışmak becerilere sahip olmak. tek değişkenli fonksiyonlar bir diferansiyel hesap olduğunda, karar daha kolay hale gelir. Bu unutulmamalıdır, birlikte, aynı temel kurallara uyar. Uygulamada, diferansiyel hesabın işlevini araştırmak için, sadece yeni değişkenlerin tanıtımıyla mevcut lisede verilmektedir algoritma, ve sadece biraz karmaşık izleyin.