Modern bilimde, herhangi bir sistemin kantitatif bir matematiksel modelini oluşturmak için birçok yaklaşım vardır. Ve bunların biri, bu sistemin tam bir karakterizasyonu verebilen temel unsurlar arasındaki varsayılan ilişkiye dayanan, elemanın diferansiyel (sonsuz küçük) davranışının kurulmasına dayanan sonlu elemanlar yöntemi olarak düşünülür. Bu nedenle, bu teknik, sistemi açıklarken diferansiyel denklemleri kullanır.
Teorik yönler
Teorik yöntemler, bu dizi hesap araçlarının atası olan sonlu farklar yöntemi ile yönlendirilir ve yaygın olarak kullanılır. Sonlu fark yöntemlerinde, herhangi bir diferansiyel denklemin uygulanması özellikle caziptir . Bununla birlikte, sınır koşulları için muhasebenin hantallaşması ve zor programlanabilirliği nedeniyle, bu yöntemlerin uygulanmasında bazı kısıtlamalar bulunmaktadır. Çözümün doğruluğu, düğüm noktalarını tanımlayan ızgaranın seviyesine bağlıdır. Bu nedenle, bu tür problemlerin çözümünde, genellikle yüksek mertebeden cebirsel denklem sistemlerini göz önüne almak gereklidir.
Sonlu elemanlar yöntemi, çok yüksek doğruluk düzeyine ulaşan bir yaklaşımdır. Günümüzde pek çok bilim adamı şu andaki aşamada aynı sonuçları verebilecek benzer bir yöntem bulunmadığını belirtti. Sonlu elemanlar yöntemi, gerçek sınır koşullarının hesaba katılması için uygulanabilirliği, verimliliği ve kolaylığı ile diğer herhangi bir yöntem için ciddi bir rekabetçi olmasını mümkün kılar. Bununla birlikte, bu avantajlara ek olarak bazı dezavantajlar da vardır. Örneğin, kaçınılmaz olarak çok sayıda öğenin kullanımını gerektiren bir örnekleme şeması ile temsil edilir. Özellikle, uzak sınırları olan üç boyutlu problemlerden bahsediyorsak ve her birinde, bilinmeyen değişkenler için süreklilik izlenir.
Alternatif yaklaşım
Alternatif olarak, bazı bilim insanları diferansiyel denklem sisteminin analitik entegrasyonunun başka bir şekilde kullanılmasını veya bazı yaklaşımlar getirerek önermektedir. Her durumda, hangi metod kullanılırsa olsun, diferansiyel denklem ilk önce entegre edilmelidir. Problemi çözmenin ilk aşaması olarak, diferansiyel denklemleri integral analogları sistemine dönüştürmek gereklidir. Bu işlem, belirli bir bölgede değerler içeren bir denklem sistemi elde etmemizi sağlar.
Bir başka alternatif yaklaşım ise, sınır elemanları yöntemi olup, gelişimi de integral denklemleri fikrine dayanmaktadır. Bu yöntem, her bir özümde benzersizliğin kanıtı olmaksızın yaygın bir şekilde kullanılmaktadır, bu da çok popüler hale getirildi ve bilgisayar teknolojisi kullanılarak gerçekleştirildi.
Başvuru kapsamı
Sonlu elemanlar yöntemi, karışık formülasyonda diğer sayısal yöntemlerle birlikte başarılı bir şekilde kullanılır. Bu kombinasyon, uygulama alanını genişletmemizi sağlar.