Öklid uzayı: kavram, özellikler, tabelalar

Okula dönünce, tüm öğrenciler, nokta, düzlem, çizgi ve hareket gibi geometrik öğelere dayanılarak ana hükümleri çeşitli aksiyomlar etrafında yoğunlaşan "Öklid geometrisi" kavramını tanırlar. Hepsi "Öklid Uzayı" terimi ile bilinen şeyi topluca biçimlendiriyorlar.

Tanımı , vektörlerin skaler çarpımına dayanan Öklid uzayı, bir takım gereksinimleri karşılayan doğrusal (afin) bir alanın özel bir örneğidir. Birincisi, vektörlerin skaler ürünü tamamen simetriktir, yani, koordinatları (x; y) olan vektör nicel olarak koordinatları (y; x) olan vektör ile özdeştir, ancak yönde zıttır.

İkincisi, vektörün skaler ürünü kendi başına üretilirse, bu eylemin sonucu olumlu olacaktır. Tek istisna, bu vektörün başlangıç ve son koordinatının sıfır olması durumudur: bu durumda ve kendi ürünü kendi başına sıfıra eşit olacaktır.

Üçüncüsü, skaler ürünün dağılımı, yani koordinatlarından birinin iki değerin bir toplamına ayrılması ve vektörlerin skaler çoğalmasının nihai sonucunda herhangi bir değişiklik yapılmasına yol açma olasılığı vardır. Son olarak, dördüncüsü, vektörler aynı reel sayı ile çarpıldığında , bunların skalalı ürünü de aynı faktörle artacaktır.

Bütün bu dört şartın yerine getirilmesi durumunda, bizden önce Öklit uzayı bulunduğumuzu güvenle söyleyebiliriz.

Pratik açıdan Öklid boşluğu şu somut örneklerle karakterize edilebilir:

1. En basit durum, geometri temel yasalarıyla tanımlanan skaler bir ürüne sahip bir dizi vektörün varlığıdır.
2. Öklid uzayı, vektörler vasıtasıyla, skaler toplamını veya ürününü açıklayan belirli bir formülü olan belirli sayıda sonlu gerçek sayı kümesini kastettiğimizde de elde edilir.
3. Öklid uzayının özel bir durumu, her iki vektörün skalar uzunluğu sıfırsa elde edilen sıfır boşluk olarak adlandırılır.

Öklid uzayının belirli özellikleri vardır. İlk olarak, skaler çarpanı, hem skaler ürünün birinci hem de ikinci yardımcı faktöründen parantez içine alınabilir, bunun sonucunda herhangi bir değişiklik yapılmaz. İkincisi, skaler bir ürünün birinci elemanının distribütivitesi ile birlikte ikinci elemanın da dağılımı da etkimektedir. Buna ek olarak, vektörlerin skaler toplamına ek olarak, vektörlerin çıkartılması durumunda da dağılım sağlanır. Son olarak, üçüncü olarak, vektörün sıfıra skalar çarpımı ile sonuç da sıfır olacaktır.

Böylece, Öklid uzayı, vektörlerin birbirine göre göreceli konumlarıyla problemleri çözmede kullanılan en önemli geometrik kavramdır ve karakterizasyon için bir skaler ürün gibi bir kavram kullanılır.