Diferansiyel - bu nedir? Nasıl fonksiyonun diferansiyeli bulunur?

türevleri ile birlikte onların fonksiyonları diferansiyeller - bu bazı temel kavramları diferansiyel hesap, bir ana bölümüne matematiksel analizinin. ayrılmaz bir şekilde bağlantılı olarak, her ikisi de birkaç yüzyıl yaygın bilimsel ve teknik faaliyeti esnasında ortaya çıkan hemen hemen tüm sorunların çözümünde kullandı.

Diferansiyel kavramının ortaya çıkması

İlk defa açıkça böyle bir diferansiyeli, (Isaakom Nyutonom birlikte) kurucularından biri diferansiyel hesabını ünlü Alman matematikçi Gotfrid Vilgelm Leybnits yaptı. o 17. yy matematikçilerin önce. işlevi sadece olamaz değer, altında, çok küçük bir sabit değer, ancak sıfıra eşit olmayan, temsil eden bir fonksiyonu bilinen bir sonsuz "Bölünmemiş" çok açık değildir ve belirsiz bir fikri kullanılır. Bu nedenle bu işlev parametresi ve ikinci türevleri olarak ifade edilebilir fonksiyonlar, kendi artışlarla sonsuz artışlarla kavramlarının giriş tek bir adımdır. Ve bu adım neredeyse aynı anda yukarıdaki iki büyük bilim adamları alınmıştır.

bilim yüzleşmek acil pratik mekaniği sorunları çözmek için ihtiyacı dayanarak hızla sanayi ve teknoloji geliştirme, Newton ve Leibniz gibi kavramların tanıtılması yol açtı (özellikle bilinen yörünge gövdesinin mekanik hız bakımından) değişim oranının fonksiyonlarını bulma ortak yollar yarattı türev fonksiyonu ve diferansiyel olarak ve aynı zamanda doğal olarak bilinen (değişken) algoritma ters problem çözümleri yekpare kavramına yol açmıştır yolu bulmak için geçilen hızlarını bulundu Ala.

AH başarıyla ikincisi değerini hesaplamak için uygulanabilir AU fonksiyonlarını artırır temel argümanlardan artışına ile orantılıdır - Leibniz'in ve Newton'un fikrinin eserlerinde öncelikle farklılıkları ortaya çıktı. AH → sıfıra eğilimi, geri kalan - başka bir deyişle, onun türevi AU = y '(x)' AH + αΔh α AH hem ile ifade edilir bir artış fonksiyonu (tanımının etki alanı içinde) herhangi bir noktada olabilir keşfetmişlerdir 0, fiili AH çok daha hızlı.

Matematiksel analiz kurucuları göre, diferansiyel - bu tam bir fonksiyon artışlarla ilk terimdir. Hatta bir şekilde tanımlanmış Limit sekansları türevinin fark değeri fonksiyon eğiliminde olduğu sezgisel olarak anlaşılmaktadır kalmadan zaman AH → 0 - AU / AH → y '(x) tanımlanmaktadır.

temel olarak fizikçi ve fiziksel sorunların çalışma için bir yardımcı araç olarak kabul matematiksel düzenek olarak Newton, farklı olarak, leibniz görsel ve anlaşılır sembolleri matematiksel değerleri bir sistem dahil olmak üzere bu araç için daha fazla dikkat. Bu farklılıklar fonksiyonu dy standart gösterim önerilen = y '(x) dx, dx ve ilişkileri y olarak bağımsız değişken fonksiyonun türevi' (x) = dy / dx kim olduğunu.

Modern tanım

Modern matematik açısından ayırıcı nedir? Yakından değişken artışının kavramı ile ilgilidir. Değişken y = ₁ yx bir birinci değer _alır, sonra y _y2, fark _y2 ─ y _{de 1} artışla değeri y olarak adlandırılır =. Arttırma pozitif olabilir. Negatif sıfır. kelimesinin "artış" ( 'ö y' oku) kayıt ö AU belirlenen artış y değerini ifade etmekte olup. böylece AU = _y2 ─ _y1.

değeri AU rastlantısal fonksiyon y = f (x), bir AH hiçbir bağımlılık, t, AU = A ^ H + α, aşağıdaki şekilde temsil edilebilir ise. verilen x için E. = sabit ve terimi α AH → 0 eğiliminde olduğunda Bu ifade, daha hızlı gerçek SH, daha sonra birinci ( "ana") bir dönem orantılı AH daha, ve y = f (x) diferansiyel için olan dy df (x) ( "y de", "de eff X" oku). Bu nedenle Diferansiyel - bir "ana" doğrusal artışlarla AH fonksiyonların bileşenlerine göre.

mekanik açıklama

hareket eden bir düz bir hat üzerinde mesafe - s f (t) = olsun malzeme noktası (- seyahat süresi t) başlangıç konumundan. Artım Δs - bir zaman aralığı At boyunca yol noktasıdır ve diferansiyel ds = f - (t), (t) At bu hız f tutulan, bu yol, nokta aynı süre için yapılacak olan, At ', t zamanında ulaştığı . son derece küçük bir At ds hayali yolu asıl Δs sonsuz küçük ¨ t ile ilgili olarak daha yüksek bir sırasına sahip olan bir farklı olduğunda. t zaman hız sıfıra eşit değilse, yaklaşık değer ds küçük verev noktası verir.

geometrik tefsir

hat L y = f (x) grafiğidir olsun. Daha sonra Δ x = MQ, AU = QM '(bkz. Aşağıdaki Şekil). Tanjant MN AU iki kısımdan ÇjN'den ve NM' halinde kesilmiş kırar. Birinci ve AH oransal QN = MQ tg (açı QMN) = AHf '(x) T. E QN dy diferansiyeldir ∙.

AH → 0 mil uzunluğu ', daha hızlı argüman artışından azalır fark AU NM'daet ─ dy, ikinci bölümü, bu SH daha yüksek küçüklük sırası vardır, yani. Bu durumda, f (x) ≠ 0 (paralel olmayan teğet OX) segmentleri QM'i QN eşdeğerse; Diğer bir deyişle, NM toplam artış AU = QM (daha yüksek onun darlığından sırası) hızlı bir şekilde azalır. ' Bu durum, Şekil (yaklaşan bölüm M'k M NM'sostavlyaet tüm küçük bir yüzdesi qm 'segmenti) belirgindir.

Bu nedenle, grafiksel bir rastlantısal fonksiyon teğetin ordinat artışına eşittir diferansiyel.

Türev ve diferansiyel

ekspresyon artışı fonksiyonunun ilk dönemde bir faktör türevi f (x) değerine eşittir. Bu nedenle, aşağıdaki ilişki - dy = f (x) AH '(x)' AH df (x) F ='.

Bağımsız argüman artış ayırıcı AH = dx eşit olduğu bilinmektedir. Bu duruma göre, yazabiliriz: f (x) dx = dy.

(Bazen "karar" olduğu söylenir) kullanılarak yapılan bulmak türevleri ile aynı kurallara göre gerçekleştirilir. Bunların bir listesi aşağıda verilmiştir.

Daha da evrenseldir: argüman veya diferansiyeli artım

İşte bazı açıklamalar yapmak gerekmektedir. Temsil değeri f (x), diferansiyel AH mümkün bir bağımsız değişken olarak x göz önüne alındığında. Ancak fonksiyonu X bağımsız değişkeni t bir fonksiyonu olabilir ki burada bir kompleks olabilir. Daha sonra f (x), AH farklı ekspresyonu gösterimi, bir kural olarak, bu imkansızdır; + B doğrusal bağımlılık x = durum hariç.

Formül f de '(x) =, daha sonra x t parametrik bağımlılığı durumunda bağımsız bağımsız değişken x durumunda (o dx = SH), ayırıcı dy DX.

Örneğin, ifade 2 x AH y = x ² x bir argümandır ayırıcı içindir. Şimdi x = t ² ve t argüman varsayalım. Daha sonra, y = x ² = t ^4.

Bu (t + At) ² = ^t2 + 2tΔt + At ² tarafından takip ^edilir. Bu nedenle AH = 2tΔt + ^At2. Dolayısıyla: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + At ^2).

Bu ifade ¨ t orantılı değildir, bu nedenle artık 2xΔh diferansiyel olmamasıdır. Bu denklem y = x ² = t ^{4'ten bulunabilir.} Eşit dy = 4t ³ At olup.

Biz sentezleme 2xdx alırsak, herhangi bir bağımsız değişken t ayırıcı y = x ^2'dir. Gerçekten de, X = ^t2 dx = 2tΔt elde zaman.

Böylece 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ burada At, t., Iki farklı değişken tarafından kaydedilen sentezleme farkları denk E.

artışlarla farklılıkları değiştirilmesi

f ise '(x) ≠ 0 olduğunda, AU ve dy eşdeğeri (zaman AH → 0); f (x) = 0 (anlam ve dy = 0), bunlar eşdeğer değildir.

Örneğin, = (x + SH) ² ─ x ² = 2xΔh + SH ² AU ^sonra, = x ^2, y ve dy ise = 2xΔh. ve x = 0 değeri AU = SH ² ve dy = 0 eşdeğer değildir x = 3 ise, o zaman AH ² → 0 nedeniyle eşdeğerdir AU = 6Δh + SH ² ve dy = 6Δh sahiptir.

Bu olgu, diferansiyel basit bir yapıya sahip (m. ^ H ile ilgili olarak, E. Doğrusallık), genellikle varsayımına, yaklaşık hesaplamada kullanılan küçük AH için AU ≈ dy olduğu. diferansiyel işlev genellikle artış tesisinin değerini hesaplamak için daha kolaydır Bul.

Örneğin, bir kenarı ile metalik küpü, x = 10.00 cm'dir. AH = 0.001 cm. artış nasıl ses küp V uzatılmış kenar ısıtılması mı? ^Biz, V = x ² var ki dU = 3x ² = SH 3 ∙ ∙ 0 10 ^1/2 = 3 ^(cm3). Artan ΔV eşdeğer diferansiyel dV böylece ΔV = 3 ^cm3. Tam hesaplama ³ ΔV = 10,01 ─ ¹⁰ Mart = 3.003001 verecekti. Ama önce güvenilmez dışındaki tüm rakamlar sonucu; nedenle, 3 ^cm3 yuvarlanacak hala ^gereklidir.

Açıkçası, bu yaklaşım, hata ile kazandırılan değerini tahmin etmek mümkün olması halinde yararlıdır.

Diferansiyel fonksiyonu: örnekler

en türevi ^bulma, fonksiyon y = x ³ diferansiyel bulmaya olsun. Bizim bağımsız değişken artış AU vermek ve tanımlayalım.

AU = (AH + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + H (AH 3xΔh ² + ^3).

İlk dönem orantılı SH, diğer üye 3xΔh SH ² + ^3, ki burada, katsayısı A = 3x ^2, AH bağlı değildir AH → 0 argüman artış daha hızlı azalır. Sonuç olarak, 3x ² AH üyesi y = x ³ ayırıcı ^olup:

dy = 3x ² AH = 3x ² dx veya d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Burada D (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Şimdi bulmak fonksiyon y = 1 / x türevi ile. Daha sonra D (1 / X) / dx = ─1 / x ^2. Bu nedenle, dy = ─ AH / x ^2.

Temel cebirsel fonksiyonlar aşağıda verilmiştir diferansiyeller.

diferansiyeli kullanarak Yaklaşık hesaplamalar

fonksiyonu f (x) değerlendirmek ve onun türevi f (x), x = a genellikle zordur, fakat X = a yakın aynı yapmak kolay olmayan en. Sonra yaklaşık ifadenin yardımına koşmaya

f (a + SH) ≈ f (a) AH + f (a).

Bu ayırıcı AHf '(a) AH sayesinde küçük artışlarla fonksiyonunun yaklaşık bir değer verir.

Bu nedenle, bu formül bölümü (x = a) ve aynı başlangıç noktasından belirli bir diferansiyel başlangıç noktasında değerinin toplamı olarak bir uzunluğa AH bir kısmının son noktasında fonksiyonu için yaklaşık bir ifade verir. fonksiyon değerlerini belirleme yönteminin doğruluk aşağıdaki çizimi göstermektedir.

Bununla birlikte, bilinen ve formül sonlu artışlarla verilen fonksiyon, x = a + AH değerinin tam ifade (veya alternatif olarak, Lagrange formülü)

f (a + SH) ≈ f (ξ) AH + f (a)

x = a + ξ x = A, x = a + SH aralığın içinde olduğu da tam pozisyonu bilinmemekle birlikte. tam formülü yaklaşık olarak aşağıdaki formüle sahip bir hata değerlendirmesine olanak tanır. o doğru olmaktan çıkar, ama, bir kural olarak, diferansiyel açısından orijinal ifadenin çok daha iyi bir yaklaşım verir rağmen biz Lagrange formülü Karsılık = AH / 2'de koyarsanız.

diferansiyel uygulayarak değerlendirme formülleri hata

Ölçme prensipte, yanlış ve hataya karşılık gelen ölçüm verilerine getirmek. Bunlar sınırlama ile karakterize edilen mutlak hata, açık bir şekilde (en fazla eşit kendisine ya da) mutlak değer olarak hata aşan, pozitif -, sınır hata Kısacası, veya. Sınırlama nispi hata ölçüm değerinin mutlak değeri bölünerek elde edilen bölüm olarak adlandırılır.

Let kesin bir formül y = f (x) fonksiyonunun vychislyaeniya y için kullanılır, ancak x değerinin ölçüm sonucudur ve bu nedenle y hata getirir. Daha sonra, aşağıdaki formül kullanılarak, sınırlayıcı mutlak hata │Δu│funktsii y bulmak

│Δu│≈│dy│ = │ '(x)' ││Δh│ f

nerede │Δh│yavlyaetsya marjinal hata argüman. │Δu│ miktar olarak, yukarı doğru yuvarlanır olmalıdır doğru olmayan hesaplamalar kendisi farklı hesaplama artım yerine geçer.