Maclaurin serileri ve bazı fonksiyonların ayrışımı

Yüksek matematik öğrencisi, verilen serilerin yakınsaklığına ait bazı güç serilerinin toplamının sürekli ve sonsuza kadar birçok farklılaşmış bir fonksiyon olduğunu bilmelidir. Soru ortaya çıkar: verilen bir keyfi fonksiyonun f (x) bir güç serisinin toplamı olduğunu iddia etmek mümkün müdür? Yani, f-f (x) hangi koşullarda bir güç serisi ile temsil edilebilir? Böyle bir sorunun önemi, f-x f (x) 'i güç serisinin birkaç ilk teriminin, yani bir polinomun toplamıyla yaklaşık olarak değiştirmek mümkündür. Bir fonksiyonun oldukça basit bir ifade ile böyle bir ikame edilmesi -bir polinom- matematiksel analize ilişkin bazı problemleri çözmede , yani: integrallerin çözülmesinde, diferansiyel denklemlerin hesaplanmasında vb. Uygundur.

Son bir de dahil olmak üzere (n + 1) sıradaki türevlerin hesaplanabildiği bazı fonksiyon f (x) için (α - R; X ₀ + R) bazı noktanın x = α, aşağıdaki formül geçerlidir:

Bu formül, ünlü bilim adamı Brooke Taylor'ın adını taşıyor. Önceki dizide elde edilen seriye Maclaurin serisi denir:

Bir Maclaurin serisine ayrılmayı mümkün kılan bir kural:

1. Birinci, ikinci, üçüncü ... siparişlerin türevlerini belirleyin.
2. X = 0'daki türevlerin ne olduğuna karar verin.
3. Belirli bir işlev için Maclaurin serisini kaydedin ve ardından yakınsama aralığını belirleyin.
4. Maclaurin formülünün geri kalanının nerede olduğu (-R; R) aralığını belirleyin

R _n (x) -> 0 sıfırın n → ∞ olarak. Var olduğu durumda f (x) fonksiyonunun Maclaurin serisinin toplamıyla çakışması gerekir.

Şimdi bireysel işlevler için Maclaurin serisini düşünüyoruz.

1. Böylece, ilk önce f (x) = e ^{x olur} . Tabii ki, özellikleri bakımından, böyle bir fonksiyon çok farklı düzenlerin türevlerine sahiptir ve f ^(k) (x) = e ^x , burada k tüm doğal sayılara eşittir . X = 0 yerine geçeriz. F ^(k) (0) = e ⁰ = 1, k = 1,2 olsun ... Yukarıdakilerden hareketle e ^x serisi Şöyle görünecek:

2. f (x) = sin x fonksiyonu için Maclaurin serisi. Hemen hemen tüm bilinmeyenlerin φ-fonksiyonunun türevleri olduğunu açıklığa kavuşturduk, bunun yanında f ^' (x) = cos x = sin (x + n / 2), f ^" (x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f ^(k) (x) = sin (x + k * n / 2), burada k herhangi bir doğal sayıya eşittir. Yani, basit hesaplamalar yaparak, f (x) = sin x dizisinin şu şekilde olacağı sonucuna varabiliriz:

3. Şimdi f (x) = cos x fonksiyonunu göz önüne almaya çalışalım. Tüm bilinmeyenler için keyfi düzenin türevlerine sahiptir ve | f ^(k) (x) | = Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Yine belirli hesaplamalar yaparak, f (x) = cos x serisinin şu şekilde olacağını anlıyoruz:

Bu nedenle, Maclaurin serisine ayrışabilen en önemli fonksiyonları sıraladık, ancak bazı fonksiyonlar için Taylor serisi ile tamamlandılar. Şimdi onları listeliyoruz. Ayrıca, Taylor ve Maclaurin serilerinin yüksek matematik serilerini çözme atölyesinin önemli bir parçası olduğuna dikkati çekmektedir. Yani, Taylor serisi.

1. Birinci fonksiyon f (x) = ln (1 + x) serisidir. Önceki örneklerde olduğu gibi, belirli bir f (x) = ln (1 + x) için Maclaurin serisinin genel formunu kullanarak bir dizi ekleyebiliriz. Bununla birlikte, bu işlev için Maclaurin serileri daha basit elde edilebilir. Bazı geometrik serilerin bütünleştirilmesi, böyle bir örneğin f (x) = ln (1 + x) için bir dizi elde ederiz:

2. Ve yazımızda nihai olacak ikinci, f (x) = arctg x için bir dizi olacaktır. [-1; 1] aralığına ait x için genişleme geçerlidir:

Hepsi bu kadar. Bu makalede, Taylor ve Maclaurin'in yüksek matematikte, özellikle de ekonomik ve teknik üniversitelerde en çok kullanılan serileri düşünüldü.